総理大臣は国家元首にはなれません。
総理大臣というのは、国家元首から頼まれて国を取りまとめている人です。
国家元首が指名しない限り、総理大臣という職にはつけないのです。

もっとも、総理大臣が天皇を殺して、天皇がいないまま勝手に仕事を進めたという感じの事例も歴史上はありますが。